Question

已知AC，BD為圓O：x²+y²=4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M（1，

2

），則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）

• A、5
• B、10
• C、15
• D、20

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂² =3，代入面積公式S=

1

2

|AC||BD|，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答： 解：如圖，連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2，OM=

3

，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=3．
四邊形ABCD的面積為：S=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：S=

1

2

|AC||BD|=2

(4-d12)(4-d22)

≤8-（d₁²+d₂²）=5，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．解答關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對(duì)角線長(zhǎng)度之積的一半來(lái)計(jì)算．