Question

如圖，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為80米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地．現一開發商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR．設∠PAT為θ，長方形停車場面積為S．
（1）試寫出S關于θ的函數；
（2）求長方形停車場面積S的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得FP=80cosθ，EP=80sinθ，
∴PR=100-80sinθ，PQ=100-80cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（100-80sinθ）（100-80cosθ）
=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
故S關于θ的函數解析式為S=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即 ，
∴S=10000-8000t+3200（t²-1）=3200t²-8000t+6800．　（9分）
又由 ，可得 ，
故 ，
∴S關于t的表達式為S=3200t²-8000t+6800（ ）．（11分）
又由 ，
可知當 時，S取最小值，當t=1時，S取最大值．
故S的最小值為13200-8000，最大值為2000．（14分）
分析：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S關于θ的函數解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，利用平方關系求出 ，通過θ的范圍求出t的范圍，得到S關于t的表達式，利用二次函數的性質求出S的最大值．
點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，注意必須注明函數的定義域，利用換元法求出函數的表達式，二次函數的最值的求法，考查計算能力．