Question

如圖，ABCD是一塊矩形鐵板AB=48cm，BC=30cm，剪掉四個陰影部分的小正方形，沿虛線折疊后，焊接成一個無蓋的長方體水箱．
（Ⅰ）寫出水箱的容積V與水箱高度x的函數表達式，并求其定義域；
（Ⅱ）當水箱高度x為何值時，水箱的容積V最大，并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）由圖形據體積公式得出體積關于高x的函數，再由題意中的限制條件得出定義域．
（2）先求導，列表，確定函數的單調性，即可求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設高為x，則V=（48-2x）（30-2x）x=4（360x-39x²+x³）（0＜x＜15）．
（Ⅱ）∵V=4（360x-39x²+x³），
∴V′=4（3x²-78x+360），
令V′=0，即3x²-78x+360=0，
解得，x=6或x=20（舍）．
當x變化時，V′，V的變化情況如下表：

x	（0，6）	6	（6，15）
V′	+	0	-
V		最大值

由上表可知，當x=6cn時，容積V有最大值，且最大值為3888立方厘米．

點評：本題考查長方體的體積公式以及用導數數求最值的過程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．