Question

（本小題滿分14分）
已知長方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

,存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點

解:(Ⅰ)由題意可得點A,B,C的坐標分別為.……1分
設橢圓的標準方程是.……2分
則……4分
.……5分
橢圓的標準方程是……6分
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.……7分
設M,N兩點的坐標分別為
聯立方程: 
消去整理得,
有…9分
若以MN為直徑的圓恰好過原點,則,
所以,……10分 所以,,
即
所以,
即 ……11分得……12分
所以直線的方程為,或.……13分
所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點.……14分