Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

Answer 1

（I）詳見試題解析；（II）；（III）存在．

解析試題分析：（I）在矩形中，連結交于，則點為的中點．只要證即可；
（II）以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設直線與平面所成角為，先求平面的法向量，再利用求值；（III）假設存在滿足已知條件的，由，得．求平面和平面的法向量，利用空間二面角的夾角公式列方程組，若方程組有解則肯定回答，即存在滿足已知條件的；否則則否定回答，即不存在滿足已知條件的．
試題解析：（I）證明：在矩形中，連結交于，則點為的中點．在中，點為的中點，點為的中點，．又平面平面平面  4分
（II）解：由則．由平面平面且平面平面，得平面又矩形中以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則 6分
設平面的法向量為
可取．
設直線與平面所成角為，則．                  8分
（III）設，得．設平面的法向量為則由得                    10分
由平面與平面所成的銳二面角為得，或（舍）．
故在上存在滿足條件．            &nbs