Question

已知f（x）=log_a

x+2

x+1

（a＞0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞1，求f（x）的單調區間并指出增減性；
（3）若a=2，且x∈[-

15

7

，-2）∪（-1，0]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分類討論a的取值，然后求解；
（2）根據復合函數的單調性的判斷方法進行判斷；
（3）根據復合函數的方法求值域．

解答： 解：（1）當a＞1時，原不等式可化為：

x+2

x+1

＞1，
∴f（x）＞0的解集是（-1，+∞）；
當0＜a＜1時，原不等式可化為：0＜

x+2

x+1

＜1，
∴f（x）＞0的解集是（-∞，-2）；
（2）∵

x+2

x+1

＞0，
∴x＜-2或x＞-1，
a＞1時，f（x）=log_a

x+2

x+1

=log a(1+

1

x+1

)，
∴原函數的單調減區間是（-∞，-2），（-1，+∞）；
（3）當a=2，f（x）=log 2

x+2

x+1

=log 2(1+

1

x+1

)，
當x∈[-

15

7

，-2）∪（-1，0]，
∴1+

1

x+1

∈（0，

1

8

]∪[2，+∞），
∴函數的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查對數不等式、復合函數的單調性及其值域．