Question

15．當x≥3時，不等式$x+\frac{1}{x-1}≥a$恒成立，則實數a的取值范圍$（{-∞，\frac{7}{2}}]$．

Answer 1

分析 利用導數研究函數的單調性、最值即可得出．

解答 解：令f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，x≥3．
f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x（x-2）}{（x-1）^{2}}$＞0，
因此函數f（x）在[3，+∞）上單調遞增，
∴x=3時，函數f（x）取得最小值，f（3）=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
∵當x≥3時，不等式$x+\frac{1}{x-1}≥a$恒成立，
則實數a的取值范圍是$（-∞，\frac{7}{2}]$．
故答案為：$（-∞，\frac{7}{2}]$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．