Question

18．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a_n＞0，4S_n+3=a_n²+2a_n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系可得，又a_n＞0，即可求出．
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）當n=1時，${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}+3=4{a_1}+3$，
因為a_n＞0，所以a₁=3，
當n≥2時，${a_n}^2+2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=4{S_n}+3-4{S_{n-1}}-3=4{a_n}$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，
所以數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n+1．
（2）由（1）知，${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
則數(shù)列{b_n}前n項和為${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）}]=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．