Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點B（2， ）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為 + =1（a＞b＞0），

則c=2，a2﹣b2=c2， + =1，解得：a2=8，b2=4．

可得橢圓C的方程為 + =1；

（Ⅱ）如圖，設F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），則 + =1，A（﹣2 ，0），

AF所在直線方程y= （x+2 ），

取x=0，得y= ，

∴N（0， ），

AE所在直線方程為y= （x+2 ），

取x=0，得y= ．

則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0， ），

半徑r= ，

圓的方程為x2+（y﹣ ）2= = ，即x2+（y+ ）2= ．

取y=0，得x=±2．

可得以MN為直徑的圓經過定點（±2，0）．

可得在x軸上存在點P（±2，0），

使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角．

【解析】（1）根據焦點坐標得出c的值，再將B點的坐標代入橢圓方程，結合a2﹣b2=c2，即可解出a，b，c，從而得到橢圓方程，（2）設F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（±2，0），即可判斷存在點P.