Question

4．某冰淇淋店要派車到100千米外的冷飲加工廠原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽車每小時的運行成本F（單位：元）與其自重m（包括車子、駕駛員及所載貨物等的質(zhì)量，單位：千克）和車速v（單位：千米/小時）之間滿足關(guān)系式：$F=\frac{1}{1600}m{v^2}$．在運輸途中，每千克冷飲每小時的冷藏費為10元，每千克冷飲經(jīng)過冰淇淋店再加工后，可獲利100元．若汽車重量（包括駕駛員等，不含貨物）為1.3噸，最大載重為1噸．汽車來回的速度為v（單位：千米/小時），且最大車速為80千米，一次進貨x千克，而且冰淇淋供不應(yīng)求．
（1）求冰淇淋店進一次貨，經(jīng)加工售賣后所得凈利潤w與車速v和進貨量x之間的關(guān)系式；
（2）每次至少進貨多少千克，才能使得銷售后不會虧本（凈利潤w≥0）？
（3）當一次進貨量x與車速v分別為多少時，能使得冰淇淋店有最大凈利潤？并求出最大值．（提示：${（{\sqrt{x+b}}）^′}=\frac{1}{{2\sqrt{x+b}}}$）

Answer 1

分析 （1）用總收入減去來回兩次的運行成本和冷藏成本即可；
（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再驗證車速是否符合條件即可；
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷W的最大值函數(shù)的單調(diào)性，即可得出W的最大值，再驗證車速即可．

解答 解：（1）汽車來回一次的運行成本為$\frac{1}{1600}$×1300v²×$\frac{100}{v}$+$\frac{1}{1600}$×（1300+x）v²×$\frac{100}{v}$=$\frac{1}{16}$（2600+x）v，冷藏成本為10x×$\frac{100}{v}$=$\frac{1000x}{v}$，
∴W=100x-$\frac{1}{16}$（2600+x）v-$\frac{1000x}{v}$．
（2）∵$\frac{1}{16}$（2600+x）v+$\frac{1000x}{v}$≥2$\sqrt{\frac{1}{16}（2600+x）v•\frac{1000x}{v}}$=5$\sqrt{10}$•$\sqrt{（2600+x）x}$，
∴W≤100x-5$\sqrt{10}$•$\sqrt{（2600+x）x}$，當且僅當$\frac{1}{16}$（2600+x）v=$\frac{1000x}{v}$即v=40$\sqrt{10}$•$\sqrt{\frac{x}{2600+x}}$時取等號．
令100x-5$\sqrt{10}$•$\sqrt{（2600+x）x}$≥0，得2$\sqrt{10x}$≥$\sqrt{2600+x}$，解得x≥$\frac{200}{3}$，
當x=$\frac{200}{3}$時，v=40$\sqrt{10}$•$\sqrt{\frac{\frac{200}{3}}{2600+\frac{200}{3}}}$=20∈（0，80]，
∴每次至少進貨$\frac{200}{3}$千克，才可能使銷售后不會虧本．
（3）由（2）可知W≤100x-5$\sqrt{10}$•$\sqrt{（2600+x）x}$=5$\sqrt{10}$（2$\sqrt{10}$x-$\sqrt{x}$•$\sqrt{2600+x}$），x∈[$\frac{200}{3}$，1000]，
設(shè)f（x）=2$\sqrt{10}$x-$\sqrt{x}$•$\sqrt{2600+x}$，則f′（x）=2$\sqrt{10}$-（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$•$\sqrt{2600+x}$+$\sqrt{x}•$$\frac{1}{2\sqrt{2600+x}}$）=2$\sqrt{10}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{x+2600}{x}}$+$\sqrt{\frac{x}{x+2600}}$），
∵x∈[$\frac{200}{3}$，1000]，∴$\sqrt{\frac{x+2600}{x}}$=$\sqrt{1+\frac{2600}{x}}$∈[$\sqrt{3.6}$，2$\sqrt{10}$]，
∵函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在[$\sqrt{3.6}$，2$\sqrt{10}$]上單調(diào)遞增，
∴當$\sqrt{\frac{x+2600}{x}}$=2$\sqrt{10}$時，$\sqrt{\frac{x+2600}{x}}$+$\sqrt{\frac{x}{x+2600}}$取得最大值$\frac{41\sqrt{10}}{20}$，
∴f′（x）≥2$\sqrt{10}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{41\sqrt{10}}{20}$＞0，
∴f（x）在[$\frac{200}{3}$，1000]上單調(diào)遞增，
∴當x=1000時，f（x）取得最大值f（1000）=1400$\sqrt{10}$，此時v=40$\sqrt{10}$•$\sqrt{\frac{1000}{1000+2600}}$=$\frac{200}{3}$∈（0，80]，
∴W的最大值為5$\sqrt{10}$×1400$\sqrt{10}$=70000．
∴當一次進貨量為1000千克，車速為$\frac{200}{3}$千米/時時，冰淇淋店有最大凈利潤70000元．

點評 本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，函數(shù)最值的計算與不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．