Question

2．一個放置在水平桌面上的正四棱柱的俯視圖如圖所示，其中α為銳角，則該幾何體的正視圖的面積的最大值為（　　）

• A． 2或3
• B． 2$\sqrt{3}$或3
• C． 1或3
• D． 2或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據正四棱柱的底面邊長是1還是$\sqrt{3}$，分兩種情況計算．

解答 解：由俯視圖可知正四棱柱的底面邊長為1，高為$\sqrt{3}$或底面邊長為$\sqrt{3}$，高為1，
由俯視圖可知主視圖矩形的一邊長為$\sqrt{3}$cosα+sinα=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
（1）若正四棱柱的底面邊長為1，高為$\sqrt{3}$，

則正視圖的面積S=1•2sin（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
∴當α=$\frac{π}{6}$時，正視圖的面積最大，最大面積為2．
（2）若正四棱柱的底面邊長為$\sqrt{3}$，高為1，

則正視圖的面積S=$\sqrt{3}$•2sin（α+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{3}$），
∴當α=$\frac{π}{6}$時，正視圖的面積最大，最大面積為2$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題考查了棱柱的三視圖，屬于中檔題．