Question

求函數f（x）=2（sinx+cosx）-sin2x+3在區間[-

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數的最值,二倍角的正弦,復合三角函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化簡y=2（sinx+cosx）-2sinxcosx+3化為t的二次函數，根據t的范圍求出函數的最值；

解答： 解：函數f（x）=2（sinx+cosx）-sin2x+3
令t=sinx+cosx，則有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

．
有y=f（t）=2t-2×

t2-1

2

+3=-（t+1）²+5．
又t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴x∈[-

π

4

，

π

2

]，x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，
t∈[0，

2

]．故y=f（t）=-（t+1）²+5∈[2-2

2

，4]．
即函數的值域為[2-2

2

，4]．

點評：本題考查三角函數的化簡求值、函數的值域，考察計算能力，屬于中檔題．