Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若橢圓的兩個焦點與一個短軸頂點構成邊長為2的正三角形，求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點（c，0）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過點F作l的垂線，交直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$于P點，若$\frac{|PF|}{|AB|}$的最小值為$\frac{b}{a}$，試求橢圓C率心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2c=2，2a=4，b²=a²-c²，解得a，b即可．
 （2）設直線l的方程，A，B，P坐標，|PF|=$\frac{{b}^{2}}{c}\sqrt{1+{m}^{2}}$．聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²m²+a²）y²+2mcb²y-b⁴=0．|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{m}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}{2ac\sqrt{1+{m}^{2}}}$≥$\frac{b}{a}$．即可求得橢圓C率心率e的取值范圍

解答 解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b²=a²-c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設直線l的方程為：x=my+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P（$\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{{b}^{2}m}{c}$）
|PF|=$\frac{{b}^{2}}{c}\sqrt{1+{m}^{2}}$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²m²+a²）y²+2mcb²y-b⁴=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{2mc{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{m}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
∴$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}{2ac\sqrt{1+{m}^{2}}}$≥$\frac{b}{a}$．
令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t，t≥1$，⇒b²t²-2cbt+c²≥0，
上式在t≥1時恒成立，∴橢圓C率心率e的取值范圍為（0，1）

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，注意聯立直線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，同時考查三點共線的方法：斜率相等，屬于中檔題