Question

3．設${\vec e_1}，{\vec e_2}$滿足$|{\vec e_1}|=2，|{\vec e_2}|=1$，且${\vec e_1}$與$\vec e$的夾角為60°，
（1）若$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$與${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍
（2）求$2{\vec e_1}+{\vec e_2}$在$3{\vec e_1}+2{\vec e_2}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$與${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夾角為鈍角，得（$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$）•（${\vec e_1}+t{\vec e_2}$）＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．展開得答案；
（2）直接利用向量在向量方向上的投影的概念求解．

解答 解：（1）$|{\vec e_1}|=2，|{\vec e_2}|=1$，且${\vec e_1}$與$\vec e$的夾角為60°，
∵$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$與${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夾角為鈍角，
∴（$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$）•（${\vec e_1}+t{\vec e_2}$）＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
∴$2t{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+（2{t}^{2}+7）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+7t{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
即$8t+（2{t}^{2}+7）×2×1×\frac{1}{2}+7t$＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
解得：$-7＜t＜-\frac{1}{2}$且$t≠-\frac{{\sqrt{14}}}{2}$；
（2）$2{\vec e_1}+{\vec e_2}$在$3{\vec e_1}+2{\vec e_2}$方向上的投影為：
$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}{|3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+7\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}}$=$\frac{33\sqrt{13}}{26}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中檔題．