Question

14．設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為y²=4x或y²=16x．

Answer 1

分析 求出M（5-$\frac{p}{2}$，4），代入拋物線方程得p²-10p+16=0，求出p，即可得出結論．

解答 解：∵拋物線C方程為y²=2px（p＞0），∴焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
設M（x，y），由拋物線性質|MF|=x+$\frac{p}{2}$=5，可得x=5-$\frac{p}{2}$，
因為圓心是MF的中點，所以根據中點坐標公式可得，圓心橫坐標為$\frac{5-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由已知圓半徑也為$\frac{5}{2}$，據此可知該圓與y軸相切于點（0，2），故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，
即M（5-$\frac{p}{2}$，4），代入拋物線方程得p²-10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以拋物線C的方程為y²=4x或y²=16x．
故答案為y²=4x或y²=16x．

點評 本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、圓的性質和解直角三角形等知識，屬于中檔題．