Question

設雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）

解析試題分析：（1）雙曲線和橢圓共焦點，故可設其方程為，且，，聯立解；（2）直線和圓錐曲線的位置關系問題，一般根據已知條件結合韋達定理列方程來確定參數的值或取值范圍，因為在以為圓心的圓上，根據垂徑定理，連接圓心和弦的中點的直線必垂直于，∴將直線和雙曲線聯立，得關于的一元二次方程且，得關于的不等式，利用韋達定理確定弦的中點坐標，利用列式，得關于的方程，與不等式聯立消去，得關于的不等式，解之可得.
試題解析：(1)依題雙曲線的兩個焦點分別為、，，又雙曲線的一條漸近線是，，雙曲線的方程為：；
(2)設,,
由，消去整理得：，依題意得 (*)，設的中點為，則，
又點在直線上，,,兩點都在以為圓心的同一圓上,,即，，整理得，代人(*)式得：解得：或，
又,,故所求的取值范圍是.
考點：1、橢圓和雙曲線的標準方程及簡單幾何性質；2、垂徑定理；3、韋達定理.