已知橢圓
（
）右頂點與右焦點的距離為
，短軸長為
.
（I）求橢圓的方程；
（II）過左焦點
的直線與橢圓分別交于
、
兩點，若三角形
的面積為
，求直線
的方程．
（I）
；（II）
或
解析試題分析：（I）由題意列關(guān)于a、b、c的方程組，解方程得a、b、c的值，既得橢圓的方程；（II）非兩種情況討論：當(dāng)直線
與
軸垂直時，
，此時
不符合題意故舍掉；當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為：
，代入橢圓方程消去
得：
，再由韋達(dá)定理得
，再由點到直線的距離公式得原點到直線的距離
，所以三角形的面積
從而可得直線的方程．
試題解析：（Ⅰ）由題意，
， 解得
即：橢圓方程為 3分
（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉； 4分
當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為：，
代入消去得：. 6分
設(shè)
，則
， 7分
所以 . 9分
原點到直線的距離，所以三角形的面積.
由
， 12分
所以直線或. 13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線被圓錐曲線所截弦長的求法；3、點到直線的距離公式．
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)雙曲線
以橢圓
的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是
，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線
與雙曲線交于不同兩點
,且都在以
為圓心的圓上,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
(本小題滿分12分)已知圓
，圓
，動圓
與圓
外切并且與圓
內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線
。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）
是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于
，
兩點，當(dāng)圓的半徑最長是，求
。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的兩個焦點
和上下兩個頂點
是一個邊長為2且∠F1B1F2為
的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
兩點，A為橢圓的右頂點，直線
、
分別交直線
于點
、
，線段
的中點為
，記直線
的斜率為
.求證:
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在直角坐標(biāo)系
中,點
到兩點
的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為
,直線
與交于
兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點
在第一象限,證明當(dāng)
時,恒有
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，
、
分別是橢圓
的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于
、
兩點，其中在第一象限．過作
軸的垂線，垂足為
．連接
，并延長交橢圓于點
．設(shè)直線
的斜率為
．
（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段
時，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)
時，求點到直線
的距離；
（Ⅲ）對任意
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知動點
到定點
和
的距離之和為
.
（Ⅰ）求動點軌跡
的方程；
（Ⅱ）設(shè)
，過點
作直線
，交橢圓異于
的
兩點，直線
的斜率分別為
，證明：
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知點
的坐標(biāo)分別是
、
，直線
相交于點
，且它們的斜率之積為
．
(1)求點軌跡
的方程；
(2)若過點
的直線
與(1)中的軌跡交于不同的兩點
，試求
面積的取值范圍（
為坐標(biāo)原點）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標(biāo)系
中，以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
，直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)，
）．
（Ⅰ）化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線經(jīng)過點
，求直線被曲線截得的線段
的長．
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