Question

已知函數y=g（x）與f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象關于原點對稱
（Ⅰ）求y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）函數F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上的任意一點，M關于原點的對稱點N（-x，-y）在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，代入f（x）解析式化簡可得；
（Ⅱ）由題意可判F（x）為定義域為（-1，1）的奇函數且單調遞減，故原不等式可化為F（t²-2t）＜F（-2t²+1），即-1＜-2t²+1＜t²-2t＜1，解不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上的任意一點，
則M關于原點的對稱點N（-x，-y）在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1），即y=-log_a（1-x），
∴g（x）=-log_a（1-x）．
（Ⅱ）由題意可得F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a

1+x

1-x

，
由

1+x

1-x

＞0可解得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），
又F（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

）-1=-log_a

1+x

1-x

=-F（x），
∴F（x）為奇函數，必有F（0）=0
又∵F（x）=log_a

1+x

1-x

=log_a（

2

1-x

-1），0＜a＜1，
∴F（x）為（1-，1）上的減函數，
∴F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0可化為F（t²-2t）＜-F（2t²-1），
即F（t²-2t）＜F（-2t²+1），
由函數的定義域及單調性可得：
-1＜-2t²+1＜t²-2t＜1，
解得1-

2

＜t＜-

1

3

．

點評：本題考查函數的解析式的求解，函數單調性，函數的奇偶性，抽象不等式的解法，屬中檔題．