Question

已知a＞1，命題p：a（x-2）+1＞0，命題q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命題p、q同時成立，求x的取值范圍．

Answer 1

解：依題意，命題p、q同時成立，
說明不等式組解集為非空集合，
即解集非空，
結合已知條件a＞1，解得
①當1＜a＜2時，則有，
而a﹣（2﹣）=a+﹣2＞0，即a＞2﹣，
∴不等式組的解為：x＞2或2﹣＜x＜a．
因此，此時x的取值范圍為（2﹣，a）∪（2，+∞）．
②當a=2時，則x＞且x≠2，此時x的取值范圍為（，2）∪（2，+∞）．
③當a＞2時，則有x＞a或2﹣＜x＜2．
因此，此時x的取值范圍為（2﹣，2）∪（a，+∞）．