Question

已知a＞1，命題p：a（x-2）+1＞0，命題q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命題p、q同時成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：命題p、q同時成立，說明不等式組解集為非空集合，化簡整理得．接下來分三種情況加以討論：①當1＜a＜2時，有，結合a＞2-，可得此時x的取值范圍為（2-，a）∪（2，+∞）；②當a=2時，易得此時x的取值范圍為（，2）∪（2，+∞）；③當a＞2時，對照①的分析，可得此時x的取值范圍為（2-，2）∪（a，+∞）．
解答：解：依題意，命題p、q同時成立，說明不等式組解集為非空集合，
即解集非空，結合已知條件a＞1，解得（4分）
①當1＜a＜2時，則有，
而a-（2-）=a+-2＞0，即a＞2-，
∴不等式組的解為：x＞2或2-＜x＜a．
因此，此時x的取值范圍為（2-，a）∪（2，+∞）．（6分）
②當a=2時，則x＞且x≠2，此時x的取值范圍為（，2）∪（2，+∞）．（8分）
③當a＞2時，則有⇒x＞a或2-＜x＜2．（10分）
因此，此時x的取值范圍為（2-，2）∪（a，+∞）．（12分）
點評：本題以復合命題的真假判斷為載體，著重考查了不等式的同解變形、含有字母參數的不等式組的解法等知識點，屬于中檔題．