Question

已知a＞1，命題p：a（x-2）+1＞0，命題q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命題p、q同時成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：命題p、q同時成立，說明不等式組

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1.

解集為非空集合，化簡整理得

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

．接下來分三種情況加以討論：①當1＜a＜2時，有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，結合a＞2-

1

a

，可得此時x的取值范圍為（2-

1

a

，a）∪（2，+∞）；②當a=2時，易得此時x的取值范圍為（

3

2

，2）∪（2，+∞）；③當a＞2時，對照①的分析，可得此時x的取值范圍為（2-

1

a

，2）∪（a，+∞）．

解答：解：依題意，命題p、q同時成立，說明不等式組

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1.

解集為非空集合，
即

ax＞2a-1 (x-1)2-a(x-2)-1＞0

解集非空，結合已知條件a＞1，解得

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0.

（4分）
①當1＜a＜2時，則有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，
而a-（2-

1

a

）=a+

1

a

-2＞0，即a＞2-

1

a

，
∴不等式組的解為：x＞2或2-

1

a

＜x＜a．
因此，此時x的取值范圍為（2-

1

a

，a）∪（2，+∞）．（6分）
②當a=2時，則x＞

3

2

且x≠2，此時x的取值范圍為（

3

2

，2）∪（2，+∞）．（8分）
③當a＞2時，則有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2.

⇒x＞a或2-

1

a

＜x＜2．（10分）
因此，此時x的取值范圍為（2-

1

a

，2）∪（a，+∞）．（12分）

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體，著重考查了不等式的同解變形、含有字母參數的不等式組的解法等知識點，屬于中檔題．