Question

已知a＞1，命題P：a （x-2）+1＞0，命題Q：

a-2

x-2

＜1，求使命題P與命題Q都成立的x的集合．

Answer 1

分析：由題意得

a(x-2)+1＞0 a-2 x-2 ＜1

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

，要求不等式的解集，則要比較a與2的大小及2-

1

a

與a的大小，則分①若1＜a＜2，②若a=2③若a＞2三種情況討論求解

解答：解：由題意得

a(x-2)+1＞0 a-2 x-2 ＜1

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

…（4分）
①若1＜a＜2，則

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

…（6分）
而a-（2-

1

a

）=a+

1

a

-2＞0
∴a＞2-

1

a

∴x＞2或2-

1

a

＜x＜a，即x∈{ x|x＞2或2-

1

a

＜x＜a }．…（8分）
②若a=2時，則有x∈{ x|x＞

3

2

且x≠2 }．…（10分）
③若a＞2時，則有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2

∴x∈{ x|x＞a或2-

1

a

＜x＜2 }．…（12分）

點評：本題主要考查了分式不等式及一次不等式的求解，解題的難點在于需要對參數a的范圍的討論