Question

已知．

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程有實數解,求實數的取值范圍；

（3）當,時,求證： ．

 

Answer 1

（1）函數在區間（0,1）上為增函數；在區間為減函數；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出，從而得函數f（x）在區間（0，1）上為增函數；在區間（1，+∞）為減函數．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的極大值為f（1）=1，令，得函數 g（x）取得最小值g（1）=k-1，由有實數解，k-1≤1，進而得實數k的取值范圍．（Ⅲ）由，得，從而 ，即，問題得以解決．

試題解析：解：（1）,∴

∴當時,；當時,；

∴函數在區間（0,1）上為增函數；在區間為減函數 4分

（2）由（1）得的極大值為,令,

所以當時,函數 取得最小值,

又因為方程有實數解,那么, 即,

所以實數的取值范圍是：． 8分

（3）函數在區間為減函數,而,

∴∴,即

即,而,

∴結論成立． 12分．

考點：1．利用導數研究函數的單調性；2．導數在最大值、最小值問題中的應用．