Question

邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，過點A作PA⊥平面ABD，且AP=2

3

．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直線PC與平面DBC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）取BD的中點O，連接CO，則
等邊△BCD中，可得CO⊥BD．　　　…（1分）


又∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，
CO?平面DBC，CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD．　　　　　　　 …（3分）
又∵AP⊥平面ABD，∴CO∥PA．　　　　　　  …（4分）
∵CO?平面DBC，PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC．　…（7分）
（Ⅱ）∵CO∥PA，
∴O、A、P、C四點共面．
連接AO并延長交PC的延長線于H．
∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，AH⊥BD，
∴AH⊥平面BCD，
∴直線CO即直線PH在平面BCD內的射影，可得∠HCO即直線PH平面BCD所成的角．　…（10分）
∵CO∥PA且OC=

1

2

PA，可得OC是△PAH的中位線．
∴OH=OA=

3

．
又∵OC=

3

，可得Rt△HCO中，tan∠HCO=

HO

OC

=1
∴∠HCO=45°，即直線PC與平面DBC所成角為45°…（14分）