Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中點(diǎn)，MA₁⊥AC．
（1）求證：MA₁⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)M到平面AA₁C₁C的距離．

Answer 1

分析：（1）證明A₁M⊥AB，A₁M⊥AC，利用線面垂直的判定，可得A₁M⊥平面ABC；
（2）作ME⊥AC于E，連接A₁E，作MO⊥A₁E于O，證明MO⊥面A₁ACC₁，于是MO即為所求．

解答：（1）證明：∵側(cè)面ABB₁A₁是菱形，且∠A₁AB=60°，∴△A₁AB為正三角形．
又∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴A₁M⊥AB，
由已知A₁M⊥AC，∴A₁M⊥平面ABC．（4分）
（2）解：作ME⊥AC于E，連接A₁E，作MO⊥A₁E于O，
由已知A₁M⊥AC，又∵M(jìn)E⊥AC，∴AC⊥面A₁ME，由MO?面A₁ME，得AC⊥MO，
∵M(jìn)O⊥A₁E，且A₁E?面A₁ACC₁，A₁E∩AC=E，∴MO⊥面A₁ACC₁，
于是MO即為所求，（8分）
∵菱形ABB₁A₁邊長(zhǎng)為2，∴ME=

3

2

，A1M=

3

，A1E=

15

2

，
∴MO=

15

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，正確運(yùn)用線面垂直的判定是關(guān)鍵．