Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點M是棱PC的中點，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于點O．
（1）已知：PA=

2

，求證：AM⊥平面PBD；
（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于

21

7

，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點M是棱PC的中點，得到AM、PO交點G是△PAC的重心，根據三角形重心的性質，我們易得AG、OG的長，由勾股定理，我們易得AG⊥PO，由線面垂直的判定定理易得到BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質得到BD⊥AM，結合AG⊥BD，即可得到AM⊥平面PBD；
（2）由MO∥PA，結合已知中PA⊥平面ABCD，過O作AB的垂線，垂足為N，連接MN，易得到∴∠MNO即為二面角M-AB-D的平面角，由已知中二面角M-AB-D的余弦值等于

21

7

，我們可構造一個關于OM的方程，解方程求出OM值，即可求出滿足條件時PA的長．

解答：解：（1）底面ABCD是邊長為2的菱形，AC、BD交于點O．故O為AC的中點，
又∵點M是棱PC的中點，
∴AM、PO交點G是△PAC的重心，
∴AG=

2

3

AM=

2

3

×

1

2

PC=

6

3

，OG=

1

3

PO=

3

3

，AG²+OG²=1=AO²
∴AG⊥PO
又BD⊥AO，BD⊥PA，PA∩AO=A
∴BD⊥平面PAC，
又由AM?平面PAC，
∴BD⊥AM，
又由AG⊥BD，AM∩AG=A
∴AM⊥平面PBD；
（2）由MO∥PA
∴MO⊥平面ABCD，
過O作AB的垂線，垂足為N，則ON=

1

2

BO=

3

2

連接MN，則MN⊥AB，
∴∠MNO即為二面角M-AB-D的平面角
則

3 2

OM2+( 3 2 )2

=

21

7

，解得OM-1
PA=2OM=2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，線面、線線、面面垂直的相互轉化是立體幾何證明的重點，而求二面角有關的立體幾何綜合題，找出二面角的平面角是解答的關鍵．