Question

（2013•渭南二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點．
（Ⅰ）若PB=PD，求證：BD⊥CQ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的性質，可證BD⊥CQ；
（Ⅱ）先證明PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高，求出BO，PO，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O．
因為底面ABCD為菱形，所以O為AC中點．
所以AC⊥BD，O為BD中點．
因為PB=PD，所以PO⊥BD．
因為PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因為CQ?平面PAC，所以BD⊥CQ．
（Ⅱ）解：因為PA=PC，所以△PAC為等腰三角形．
因為O為AC中點，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高．
因為四邊形是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=

3

，
所以PO=

6

．
所以V_P-ABCD=

1

3

×2

3

×

6

=2

2

，即V_P-ABCD=2

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查四棱錐的體積，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，屬于中檔題．