Question

11．某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本C（x），當年產量不足80千件時，C（x）=$\frac{1}{3}$x²+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時C（x）=51x+$\frac{100000}{x}$-1450（萬元），通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠本年內生產該商品能全部銷售完．
（1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進行研究，當0＜x＜80時，投入成本為C（x）=）$\frac{1}{3}{x}^{2}$+10x（萬元），根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，當x≥80時，投入成本為C（x）=51x+$\frac{100000}{x}$-1450，根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；
（2）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當0＜x＜80時，利用二次函數求最值，當x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．

解答 解：（1）∵每件商品售價為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-$\frac{1}{3}{x}^{2}$-10x-250=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+40x-250；
②當x≥80時，根據年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）．
綜合①②可得，L（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+40x-250，0＜x＜80}\\{1200-（x+\frac{10000}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）①當0＜x＜80時，L（x）=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+40x-250=-$\frac{1}{3}（x-60）^{2}$+950，
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當x≥80時，L（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000，
當且僅當x=$\frac{10000}{x}$，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大．

點評 考查學生根據實際問題選擇合適的函數類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．