Question

8．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$，雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F₂，M是雙曲線C₂的一條漸近線上的點，且OM⊥MF₂，O為坐標原點，若${S_{△OM{F_2}}}=16$，且雙曲線C₁，C₂的離心率相同，則雙曲線C₂的實軸長是（　　）

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 求得雙曲線C₁的離心率，求得雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長．

解答 解：雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設F₂（c，0），雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，
可得|F₂M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由${S_{△OM{F_2}}}=16$，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a²+b²=c²，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的實軸長為16．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，注意運用點到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．