Question

偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，則關于x的方程f(x)=(

1

2

)x在x∈[0，3]上解的個數是

3

個．

Answer 1

分析：討論函數y=f（x）奇偶性、周期性和x∈[0，1]時的表達式，可得函數y=f（x）在區間[-1，3]上的圖象，由此作出函數y=f（x）與g（x）=(

1

2

)x在同一坐標系內區間[0，3]上的圖象，結合函數零點存在性定理加以討論，可得本題答案．

解答：解：∵當x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，
∴函數y=f（x）在[0，1]上的圖象是以（0，1）和（1，0）
為端點的線段
∵函數y=f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱
∴當x∈[-1，0]時，函數圖象是以（0，1）和（-1，0）
為端點的線段
又∵函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），
∴將函數圖象在區間[-1，1]上的圖象向右平移2個單位，
可得區間[1，3]上的圖象
因此，作出函數y=f（x）與g（x）=(

1

2

)x在區間[0，3]上的圖象如圖所示
顯然它們有一個公共點A（0，1）
∵f（1）=0＜g（1）=

1

2

，f（2）=1＞g（2）=

1

4

，
∴兩個圖象在（1，2）上有一個公共點B．
同理可得：兩個圖象在（2，3）上有一個公共點C．
所以函數y=f（x）與g（x）=(

1

2

)x在區間[0，3]上的圖象總共有3個不同的交點
故答案為：3

點評：本題給出有周期的偶函數f（x），討論方程f(x)=(

1

2

)x在指定區間上零點的個數，著重考查了函數的奇偶性、周期性和函數零點存在性定理等知識，屬于中檔題．