Question

8．已知a、b滿足b=-$\frac{1}{2}{a^2}$+3lna（a＞0），點Q（m、n）在直線y=2x+$\frac{1}{2}$上，則（a-m）²+（b-n）²最小值為$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根據y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²；以及y=2x+$\frac{1}{2}$，所以（a-m）²+（b-n）²就是曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²與直線y=2x+$\frac{1}{2}$之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-m）²+（b-n）²的最小值．

解答 解：∵b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），
設b=y，a=x，則有：y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴（a-m）²+（b-n）²就是曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²與直線y=2x+$\frac{1}{2}$之間的最小距離的平方值，
對曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，求導：y′（x）=$\frac{3}{x}$-x，
與y=2x+$\frac{1}{2}$平行的切線斜率k=2=$\frac{3}{x}$-x，解得：x=1或x=-3（舍），
把x=1代入y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，得：y=-$\frac{1}{2}$，即切點為（1，-$\frac{1}{2}$），
切點到直線y=2x+$\frac{1}{2}$的距離：$\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴（a-m）²+（b-n）²的最小值就是（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$．
故答案為：$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查對數運算法則的應用，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．