Question

如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點，使∥平面，并求的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．．

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證與平面內的兩條相交直線垂直，如，雖然題中沒有給出多少垂直關系，但有線段的長度，實際上在中應用勾股定理就能證明，同理可證，于是可得平面；（2）由于在（1）已經證明了兩兩垂直，因此解決下面的問題我們可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量法解題.以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，，，，，，，這樣我們只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角相等可互補可得所求二面角大小；（3）線段上的點的坐標可寫為，這樣若有平面，即與（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，說明在線段上存在符合題意的點，否則就是不存在.
試題解析：（1）證明：，，
，同理      2分
又，平面.     4分
（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則       6分
平面的法向量為，
設平面的法向量為                 7分
，由，，取 ，  8分
設二面角的平面角為
，二面角的余弦值為.     10分
（3）假設存在點，使∥平面，
令，      12分
 由∥平面，，解得
存在點為的中點，即．     14分