Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．
現以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．

（1）求證：∥平面;
（2）求證：;
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析(3)

試題分析：
(1)要證明線面平行,取中點，連結,其中線段BN在面BEC中,根據線面平行的判斷,只需要證明線段BN與AM平行即可,根據MN為所在線段的中點,利用中位線定理即可得到MN平行且等于DC的一半,題目已知AB平行且等于DC的一半,則可以得到MN與AB平行且相等,即四邊形ABMN為平行四邊形,而AM與BN為該平行四邊形的兩條對邊,則AM與BN平行,即得到線段AM平行于面BEC.
(2)題目已知面ABCD與ADEF垂直且ED垂直于這兩個面的交線,根據面面垂直的性質定理可得線段ED垂直于面ABCD,再根據線面垂直的性質可得到BC垂直于ED,根據梯形ABCD為直角梯形和邊長關系和勾股定理可以得到BC與BD垂直,即線段BC與面BED中兩條相交的線段ED,BD相互垂直,根據線面垂直的判斷即可得到線段BC垂直于面BED
(3)要求點面距離可以考慮利用三棱錐體積的等體積法,即分別以D點和E點作為頂點求解三棱錐D-BEC的體積,當以E作為頂點時,DE為高,三角形BCD為底面,求出高和底面積得到三棱錐的體積,當D為頂點,此時,高為D到面BEC的距離,而三角形BEC為底面,利用三角形的勾股定理得到BE的長度,求出三角形BEC的面積,利用三棱錐的體積公式即可得到D到面BEC的距離.
試題解析：
（1）證明：取中點，連結．
在△中，分別為的中點，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．          3分
所以四邊形為平行四邊形．
所以∥．          4分
又因為平面，且平面，
所以∥平面．         5分

（2）在正方形中，．
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．         7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以．          8分
所以平面．          10分
（3）解法一：因為平面，所以平面平面．    11分
過點作的垂線交于點，則平面
所以點到平面的距離等于線段的長度         12分
在直角三角形中，
所以
所以點到平面的距離等于.         14分
解法二：平面,所以
所以
         12分
又，設點到平面的距離為
則，所以
所以點到平面的距離等于.         14分