Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）判斷的單調(diào)性，并證明之；

（2）若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出的定義域，判斷的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義證明即可.

（2）由（1）知，為偶函數(shù)，進而對，討論即可.

（1）由，得，所以的定義域為，

在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

證明如下：

任取，則

∵，

∴，即

故，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，

同理可證，在區(qū)間上為增函數(shù).

綜上所述：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).

（2）由（1）知為偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，

若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，即，

則方程，即在區(qū)間上有兩個不同的根，

設(shè)，必有，解得，

因為偶函數(shù)，則在區(qū)間上存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則有，

若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

則有，或，

所以，則，

若或，則或，

即方程有兩個根，，其中，

因，其對稱軸為，故不存在實數(shù)，滿足題意，

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.