Question

【題目】已知函數在點處的切線方程是.

(1)求的值及函數的最大值；

(2)若實數滿足.

(i)證明：；

(ii)若，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；0.

(2) （ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：第一問利用題中所給的條件，結合導數的幾何意義以及切點應該在切線上，建立關于的等量關系式，解方程組求得的值，從而確定出函數的解析式，利用導數研究函數的單調性，從而求導函數的最大值，第二問將問題轉化，利用導數，構造函數，證得結果.

詳解：（Ⅰ），

由題意有，解得．

故，，

，所以在為增函數，在為減函數．

故有當時，．

（Ⅱ）證明：

（ⅰ），

由（Ⅰ）知，所以，即.

又因為（過程略），所以，故.

（ⅱ）法一：

由（1）知

法二：，

構造函數，，

因為，所以，

即當時，，所以在為增函數，

所以，即，故