Question

【題目】函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．

（1）求f（x）的解析式，并求函數f（x）在[﹣ ， ]上的值域；
（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據圖形知，函數的周期T= （ ﹣ ）=π，

所以ω= = =2；

又y=2sin（2x+φ）的圖象經過（ ，2），

所以2× +φ=2kπ+ ，k∈Z；

所以φ=2kπ+ ，k∈Z；

又，φ∈（0，π），

所以φ= ．f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+ ）．

x∈[﹣ ， ]，可得：2x+ ∈[0， ]，

sin（2x+ ）∈[0，1]

函數f（x）在[﹣ ， ]上的值域：[0，2]

（2）解：f（A）=2sin（2A+ ）=1．∴sin（2A+ ）= ，

∵2A+ ∈（ ， ），∴2A+ = ．

在三角形ABC中，由余弦定理可得：BC2=9+4 ∴BC= ．

由正弦定理可得： ，

故sinB= ，又AC＜AB，∴∠B為銳角，∴cosB= ，

∴sin2B=2sinBcosB= =

【解析】（1）根據圖形，求出正確與ω的值，再由函數y的圖象經過點（ ，2），結合φ∈（0，π），即可求出φ的值．得到函數的解析式，求出自變量的范圍，相位的范圍，然后求解函數值域．（2）利用函數的解析式求出A，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．