Question

【題目】已知等比數列{an}滿足an+1+an=104n﹣1（n∈N*），數列{bn}的前n項和為Sn ， 且bn=log2an ．
（1）求bn ， Sn；
（2）設cn= ，證明： + +…+ ＜ Sn+1（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，

由an+1+an=104n﹣1（n∈N*），可得a1（1+q）qn﹣1=104n﹣1，

即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，

則an=24n﹣1=22n﹣1，bn=log2an=log222n﹣1=2n﹣1，

Sn= （1+2n﹣1）n=n2；

（2）證明：cn= =n，

不等式 + +…+ ＜ Sn+1，

即為 + +…+ ＜ （n+1）2．

運用數學歸納法證明．

當n=1時，左邊= ，右邊= ×4=2，不等式成立；

假設n=k時，不等式 + +…+ ＜ （k+1）2．

當n=k+1時， + +…+ +

＜ （k+1）2+ ，

要證 （k+1）2+ ＜ （k+2）2．

即證 ＜ （k+2）2﹣ （k+1）2= （2k+3），

平方可得k2+3k+2＜k2+3k+ ，即有2＜ 成立．

可得n=k+1時，不等式也成立．

綜上可得， + +…+ ＜ Sn+1（n∈N*）

【解析】（1）設等比數列{an}的公比為q，運用等比數列的通項公式，可得首項為2，公比為4，可得an=22n﹣1 ， 由對數的運算性質可得bn=2n﹣1，運用等差數列的求和公式即可得到Sn；（2）求得cn= =n，原不等式即為 + +…+ ＜ （n+1）2 ． 運用數學歸納法證明．結合分析法，注意運用假設，化簡整理，即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．