Question

1．設函數f（x）=-|x|，g（x）=lg（ax²-4x+1），若對任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍為（-∞，4]．

Answer 1

分析 求出f（x），g（x）的值域，則f（x）的值域為g（x）的值域的子集．

解答 解：f（x）=-|x|≤0，∴f（x）的值域是（-∞，0]．
設g（x）的值域為A，
∵對任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴（-∞，0]⊆A．
設y=ax²-4x+1的值域為B，
則（0，1]⊆B．
顯然當a=0時，上式成立．
當a＞0時，△=16-4a≥0，解得0＜a≤4．
當a＜0時，y_max=$\frac{4a-16}{4a}$≥1，即1-$\frac{4}{a}$≥1恒成立．
綜上可得：實數a的取值范圍為：（-∞，4]，
故答案為：（-∞，4]

點評 本題考查了函數的值域，集合的包含關系，二次函數的性質，屬于中檔題．