Question

17．某公司的研發團隊，可以進行A、B、C三種新產品的研發，研發成功的概率分別為P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，三個產品的研發相互獨立．
（1）求該公司恰有兩個產品研發成功的概率；
（2）已知A、B、C三種產品研發成功后帶來的產品收益（單位：萬元）分別為1000、2000、1100，為了收益最大化，公司從中選擇兩個產品研發，請你從數學期望的角度來考慮應該研發哪兩個產品？

Answer 1

分析 （1）設A，B，C研發成功分別記為事件A，B，C，且相互獨立；計算恰有兩個產品研發成功的概率即可；
（2）選擇A、B和A、C，B、C對應的兩種產品研發的分布列與數學期望，比較得出結論．

解答 解：（1）設A，B，C研發成功分別記為事件A，B，C，且相互獨立；
記事件恰有兩個產品研發成功為D，
則P（D）=P（A）•P（B）•P（$\overline{C}$）+P（A）•P（C）•$P（\overline{B}）$+P（B）•P（C）•P（$\overline{A}$）
=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$
=$\frac{7}{15}$；
（II）選擇A、B兩種產品研發時為隨機事件X，則X的可能取值為0，1000，2000，3000，
則P（X=0）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1000）=P（A）•P（$\overline{B}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{15}$，
P（X=2000）=P（$\overline{A}$）•P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3000）=P（A）•P（B）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{15}$，
則X的分布列為；

X	0	1000	2000	3000
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$

X的數學期望為E（X）=0×$\frac{1}{15}$+1000×$\frac{4}{15}$+2000×$\frac{2}{15}$+3000×$\frac{8}{15}$=$\frac{5600}{3}$；
選擇A、C兩種產品研發時為隨機事件Y，則Y的可能取值為0，1000，1100，2100，
則P（Y=0）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
P（Y=1000）=P（A）•P（$\overline{C}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{10}$，
P（X=1100）=P（$\overline{A}$）•P（C）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=2100）=P（A）•P（C）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{10}$，
則Y的分布列為；

Y	0	1000	1100	2100
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{10}$

Y的數學期望為E（Y）=0×$\frac{1}{10}$+1000×$\frac{4}{10}$+1100×$\frac{1}{10}$+2100×$\frac{4}{10}$=1330（萬元）；
選擇A、B兩種產品研發時為隨機事件Z，則Z的可能取值為0，2000，1100，3100，
則P（Z=0）=P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（Z=2000）=P（B）•P（$\overline{C}$）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{6}$，
P（X=1100）=P（$\overline{B}$）•P（C）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=3100）=P（B）•P（C）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{6}$，
則Z的分布列為；

Z	0	2000	1100	3100
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$

Z的數學期望為E（Z）=0×$\frac{1}{6}$+2000×$\frac{2}{6}$+1100×$\frac{1}{6}$+3100×$\frac{2}{6}$=$\frac{5650}{3}$（萬元）；
比較知E（Z）最大，即研發B、C兩種產品帶來的產品收益最大．

點評 本題考查了隨機變量的分布列及其數學期望、相互獨立事件的概率、相互對立事件的概率計算公式，屬于中檔題．