Question

6．設$f（x）={x^3}+{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，則對任意實數a、b，若a+b≥0則（　　）

• A． f（a）+f（b）≤0
• B． f（a）+f（b）≥0
• C． f（a）-f（b）≤0
• D． f（a）-f（b）≥0

Answer 1

分析 求解函數f（x）的定義域，判斷其奇偶性和單調性，利用奇偶性和單調性可得答案．

解答 解：設$f（x）={x^3}+{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，其定義域為R，
$f（-x）={-x^3}+{log_2}（-x+\sqrt{{x^2}+1}）$=$-{x}^{3}-lo{g}_{2}（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數．且在（0，+∞）上單調遞增，
故函數f（x）在R上是單調遞增，
那么：a+b≥0，即a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），
得f（a）≥-f（b），
可得：f（a）+f（b）≥0．
故選：B．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性的判斷及其運用能力．屬于基礎題．