Question

11．在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-3上，過點A作圓C的切線，求切線方程；
（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心坐標，可得圓的方程，再設出切線方程，利用點到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設出點C，M的坐標，利用|MA|=2|MO|，尋找坐標之間的關系，進一步將問題轉化為圓與圓的位置關系，即可得出結論．

解答 解：（1）由題設，圓心C在y=x-3上，也在直線y=2x-4上，2a-4=a-3，∴a=1，∴C（1，-2）．
∴⊙C：（x-1）²+（y+2）²=1，
由題，當斜率存在時，過A點切線方程可設為y=kx+3，即kx-y+3=0，則$\frac{|k+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得：k=-$\frac{12}{5}$，…（4分）
又當斜率不存在時，也與圓相切，∴所求切線為x=0或y=-$\frac{12}{5}$x+3，
即x=0或12x+5y-15=0；
（2）設點M（x，y），由|MA|=2|MO|，化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點M在圓C上，
∴圓C與圓D的關系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

點評 此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．