Question

16．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，且滿足f（0）=f（$\frac{π}{3}$）則下列說法正確的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數
• C． f（x）的圖象關于直線x=$\frac{5}{6}$π對稱
• D． f（$\frac{2π}{3}$）=-2

Answer 1

分析 由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，求出φ，得到函數的解析式，利用正弦函數的圖象和性質逐一分析各個選項即可得解．

解答 解：由題意可知A=2，
∵滿足f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
∴當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，
∴T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，可得：ω=2，
∴由2sin（$\frac{π}{6}$×2+φ）=2，可得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
對于A，由于T=$\frac{2π}{2}$=π，故錯誤；
對于B，當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上不是增函數，故錯誤；
對于C，x=$\frac{5}{6}$π，則f（$\frac{5}{6}$π）=2sin（2×$\frac{5}{6}$π+$\frac{π}{6}$）=-1，不是最值，故錯誤；
對于D，f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=-2，正確．
故選：D．

點評 本題是基礎題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數的圖象和性質，注意函數的周期的求法，考查計算能力，常考題型，屬于中檔題．