Question

3．設a＞0且a≠1，如果函數y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上的最大值為7，求a的值．

Answer 1

分析 由已知中函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區間[-1，1]上的最大值是7，我們利用換元法，及二次函數的性質，我們易構造關于a的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）a＞1時，令a^x=t，x∈[-1，1]，則$t∈[\frac{1}{a}，a]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[\frac{1}{a}，a]$上單調遞增，
∴$f（t）_{max}=f（a）={a}^{2}+2a-1=7$即a²+2a-8=0，解得a=-4（舍去）或a=2．
（2）0＜a＜1時，令a^x=t，x∈[-1，1]，則$t∈[a，\frac{1}{a}]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[a，\frac{1}{a}]$上單調遞增，
∴$f（t）_{max}=f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}-1=7$．
解得$a=-\frac{1}{4}$（舍去）或$a=\frac{1}{2}$．
綜上：a=2或$a=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，指數函數的值域，二次函數的單調性，其中利用換元法將已知中的函數化為二次函數是解答本題的關鍵，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．