Question

過x軸正半軸上一點M作直線PQ與橢圓

x2

4

+y²=1相交于兩點P，Q，若

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，則點M的坐標為（　　）

• A、（

  1

  5

  ，0）
• B、（

  15

  15

  ，0）
• C、（

  2 15

  5

  ，0）
• D、（

  15

  5

  ，0）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設M（m，0），設直線PQ的參數方程為

x=m+tcosα y=tsinα

．P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．把直線PQ的方程代入橢圓的方程

x2

4

+y2=1，得到根與系數的關系，可得

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．由于

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，因此24-10m²=0，解出即可．

解答：解：設M（m，0），設直線PQ的方程為

x=m+tcosα y=tsinα

．
P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．．
把直線PQ的方程代入橢圓的方程

x2

4

+y2=1，
化為（1+3sin²α）t²+2mtcosα+m²-4=0．
∴t₁+t₂=

-2mcosα

1+3sin2α

，t1t2=

m2-4

1+3sin2α

．
∴

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t1t2=

2m2+8+(24-10m2)sin2α

(1+3sin2α)2

．
∴

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

t 2 1 + t 2 2

(t1t2)2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．

∵

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

為定值，
∴24-10m²=0，又m＞0．
解得m=

2 15

5

．
∴點M的坐標為(

2 15

5

，0)．
故選：C．

點評：本題考查了直線與橢圓相交定值問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、直線的參數方程及其參數的意義，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．