Question

4．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸一個端點到右焦點的距離為$\sqrt{3}$，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線$y=kx+\sqrt{2}$與橢圓C交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到a，再由離心率求得c，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系求得A，B的橫縱坐標的積，結合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$求k的值．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將y=kx+$\sqrt{2}$代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+6\sqrt{2}kx+3=0$．
由△=$（6\sqrt{2}k）^{2}-12（1+3{k}^{2}）=12（3{k}^{2}-1）$＞0，得k²$＞\frac{1}{3}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，得${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{2}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$
=$（{k}^{2}+1）•\frac{3}{1+3{k}^{2}}-\sqrt{2}k•\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}+2$
=$\frac{5-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=1，解得k=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故k的值為$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．