Question

15．若函數y=（$\frac{1}{2}$）^|1-x|+m有兩個零點，則實數m的取值范圍是（-1，0）．

Answer 1

分析 利用復合函數的性質判斷函數的單調性，求出f（x）的最值，根據零點個數得出最值與0的關系，從而可求得m的范圍．

解答 解：y=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{1-x}+m，x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x-1}+m，m＞1}\end{array}\right.$，
∴函數y=（$\frac{1}{2}$）^|1-x|+m在（-∞，1]上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，y取得最大值m+1，
∵（$\frac{1}{2}$）^|1-x|＞0，
∴m＜f（x）≤m+1．
∵函數有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m+1＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜m＜0．
故答案為：（-1，0）．

點評 本題考查了函數的零點與單調性的關系，函數單調性的判斷，屬于中檔題．