Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，O為AC與BD的交點，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB=2a．
（1）若點E為棱PA上一點，且OE∥平面PBC，求$\frac{AE}{PE}$的值；
（2）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由OE∥平面PBC，利用線面平行的性質可得OE∥PC，再由平行線截線段成比例可得$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）取PC的中點F，連結FB，FD．由△PAD是正三角形，且DA=DC，得DP=DC．進一步得到DF⊥PC．再由AB⊥平面PAD，可得AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．結合DC∥AB，得到DC⊥DP，DC⊥DA．設AB=a，求解三角形可得FB⊥DF．再由DF⊥PC，利用線面垂直的判斷可得DF⊥平面PBC．進一步得到平面PBC⊥平面PDC；
（3）由AB∥CD，CD=2AD，可得S_底面ABCD=S_△BCD+S_△ABD=3S_△ABD，然后利用等積法可得四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）解：∵OE∥平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴OE∥PC，則AO：OC=AE：EP．
∵DC∥AB，DC=2AB，∴AO：OC=AB：DC=1：2，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）證明：取PC的中點F，連結FB，FD．
∵△PAD是正三角形，且DA=DC，∴DP=DC．
∵F為PC的中點，∴DF⊥PC．
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．
∵DC∥AB，∴DC⊥DP，DC⊥DA．
設AB=a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=$\sqrt{2}$a．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{5}$a．
在直角梯形ABCD中，BD=BC=$\sqrt{5}$a．
∵BC=PB=$\sqrt{5}$a，點F為PC的中點，∴PC⊥FB．
在Rt△PFB中，FB=$\sqrt{3}$a．
在△FDB中，由DF=$\sqrt{2}$a，FB=$\sqrt{3}$a，BD=$\sqrt{5}$a，可知DF²+FB²=BD²，∴FB⊥DF．
由DF⊥PC，DF⊥FB，且PC∩FB=F，PC、FB?平面PBC，∴DF⊥平面PBC．
又DF?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PDC；
（3）解：∵AB∥CD，CD=2AD，
∴S_底面ABCD=S_△BCD+S_△ABD=3S_△ABD，
故${V_{P-ABCD}}=3{V_{P-ABD}}=3{V_{B-PAD}}=3×\frac{1}{3}{S_{△PAD}}×BA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}•{（2a）^2}•a=\sqrt{3}{a^3}$．

點評 本題考查面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，屬中檔題．