Question

在R上的減函數f（x）滿足當且僅當x∈MR⁺時，值域為［0，2］，且f（）=1，又對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），

（1）證明f^-1（x₁）f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；

（2）解不等式f^-1（x²+x）f^-1（x+2）≤（0≤x≤2）.

Answer 1

（1）證明：任取x₁、x₂∈［0，２］，且設y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂）x₁=f（y₁），x₂=

f（y₂），

則x₁+x₂=f（y₁）+f（y₂）=f（y₁y₂）y₁y₂f^-1（x₁+x₂）.

又y₁y₂=f^-1（x₁）f^-1（x₂），

所以f^-1（x₁）f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）成立.

（2）解：f（x）為減函數，則f^-1（x）也為減函數.因f（）=f（×）=f（）+f（）=2，

則f^-1（x²+x）f^-1（x+2）≤

f^-1（x²+2x+2）≤f^-1（2）

x=0或x=-2.

又由已知條件0≤x≤2，得x=0.