Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且，n=1，2，3
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n與S_n﹣1（n≥2）的關系式，并證明數列{}是等差數列；
（3）求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

Answer 1

（1），；（2）S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0；（3）．

試題分析：（1）直接利用與的關系式求的值；（2）當時，把代入已知關系式可得與的關系式，再由此關系式，去湊出和，可得所求數列是等差數列，進而得通項的表達式，從而得的表達式；（3）由（2）中的表達式易求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．
試題解析：（1）解：當n=1時，由已知得，解得，
同理，可解得 ．                  （4分）
（2）證明：由題設，
當n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0，
∴，       （7分）
∴=﹣1+，
∴{}是首項為=﹣2，公差為﹣1的等差數列，        （10分）
∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1，∴S_n= ．    （12分）
（3）解：S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=•• ••=．    （14分）