Question

已知函數在處取得極值.

（1）求實數的值；

（2）若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍；

（3）證明:對任意的正整數,不等式…都成立.

 

Answer 1

（1）（2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）函數，對其進行求導，在處取得極值，可得，求得值；（2）關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，將問題轉化為，在區間上恰有兩個不同的實數根，對對進行求導，從而求出的范圍；

（3）的定義域為，利用導數研究其單調性，可以推出，令，可以得到，利用此不等式進行放縮證明；

試題解析：（1） ， 時, 取得極值,

故，解得

經檢驗符合題意.

（2）由知 由,得

令則在區間上恰有兩個不同的實數根等價于在區間上恰有兩個不同的實數根.

當時, ,于是在上單調遞增;

當時, ,于是在上單調遞減.

依題意有 解得

（3） 的定義域為,由（1）知,

令得,或 （舍去）, 當時, ,單調遞增;

當時, ,單調遞減.為在上的最大值.

,故 （當且僅當時,等號成立）

對任意正整數,取得, ,

故……

（方法二）數學歸納法證明：

當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.

假設時，…成立，

則時，有….作差比較：

構建函數，則，在

單調遞減，.

取，

即，亦即，

故時，有…，

不等式成立.

綜上可知，對任意的正整數,不等式…都成立

考點：（1）利用導數研究函數的極值（2）利用導數研究函數的單調性.